Grafik dari suatu lingkaran dapat ditentukan apabila kita mengetahui titik pusat dan jari-jari lingkaran tersebut. Untuk mengetahui titik pusat dan jari-jari lingkaran tersebut, kita harus menuliskan persamaan lingkaran tersebut ke dalam persamaan lingkaran standar. Setelah titik pusat diketahui, kita dapat menentukan titik-titik yang berjarak r satuan di sebelah kanan, kiri, atas, dan bawah dari titik pusat tersebut. Sehingga kita memperoleh 4 titik yang dapat digunakan untuk melukis grafik lingkaran yang diminta. Perhatikan contoh 1 berikut.
Contoh 1: Melukis Grafik Persamaan Lingkaran
Lukislah grafik lingkaran yang memiliki persamaan (x – 2)2 + (y + 3)2 = 12. Labelilah titik pusat dan jari-jarinya secara jelas.
Pembahasan Karena lingkaran dengan persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 memiliki titik pusat di (a, b) dan jari-jari r, maka dari persamaan (x – 2)2 + (y + 3)2 = 12 kita dapat memperoleh a = 2, b = –3, dan r = √12 = 2√3.
Sehingga, lingkaran tersebut memiliki titik pusat di (2, –3) dan jari-jari r ≈ 3,5 satuan. Selanjutnya, plotlah titik pusat (2, –3) kemudian plotlah 4 titik yang berjarak kira-kira 3,5 satuan ke arah vertikal dan horizontal dari titik pusat tersebut. Hubungkan keempat titik tersebut dengan lingkaran.
Pada contoh 1 di atas, persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk kuadrat dari binomial pada variabel x dan y. Dengan mengekspansi binomial-binomial tersebut dan mengkombinasikan suku-suku sejenis, kita dapat menuliskan bentuk umum dari persamaan lingkaran tersebut:
Dari bentuk umum persamaan lingkaran di atas, kita dapat mengamati bahwa persamaan tersebut terdiri dari penjumlahan variabel x dan y yang berderajat 2 dan koefisiennya sama (dalam kasus ini koefisiennya 1).
Karena persamaan ini diperoleh dari mengkuadratkan binomial, kita juga dapat mengubah persamaan umum lingkaran tersebut kembali ke dalam bentuk kuadrat dari binomial. Untuk alasan ini, kita dapat menggunakan teknik melengkapkan kuadrat.
Contoh 2: Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari dari Suatu Lingkaran
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0. Kemudian lukislah grafik dari lingkaran tersebut.
Pembahasan Untuk menentukan titik pusat dan jari-jarinya, kita harus melengkapkan kuadrat dari kedua variabel x dan y.
Sehingga dari persamaan (x + 1)2 + (x – 2)2 = 9, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa lingkaran tersebut memiliki titik pusat di (–1, 2) dan jari-jari r = 3. Grafik dari lingkaran tersebut dapat ditunjukkan seperti berikut.
Contoh 3: Penerapan Persamaan Suatu Lingkaran
Untuk membantu dalam penelitian hewan yang aktif pada malam hari, beberapa ahli binatang memasang detektor gerak di dekat lubang saluran air. Alat ini memiliki jangkauan 10 m ke berbagai arah. Andaikan lubang air tersebut memiliki koordinat (0, 0) dan alat itu dipasang pada koordinat (2, –1).
- Tulislah persamaan lingkaran yang memodelkan jangkauan maksimum dari alat tersebut.
- Gunakan rumus jarak untuk menentukan apakah alat tersebut dapat mendeteksi seekor luwak yang sedang mendekati lubang air dan sekarang koordinatnya ada di (11, –5).
Pembahasan
- Karena alat detektor tersebut berada pada koordinat (2, –1) dan memiliki jangkauan r= 10 m, setiap pergerakan di dalam lingkaran yang memiliki persamaan (x – 2)2 + (y + 1)2 = 100 bisa terdeteksi.
- Dengan menggunakan titik-titik (2, –1) dan (11, –5) pada rumus jarak, akan menghasilkan
Karena 9,85 < 10, luwak tersebut akan terdeteksi oleh alat tersebut.
Dan akhirnya, pada pembahasan ini kita telah bisa menggambar grafik dari persamaan lingkaran. Apabila persamaan lingkaran tersebut berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0, kita perlu mengubahnya ke dalam persamaan yang berbentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2 agar kita dapat menentukan letak titik pusat dan jari-jarinya.
Melukis Grafik Persamaan Lingkaran
4/
5
Oleh
Wahyu Eko Nugroho
