Game Stress

Game Stress

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Saturday, May 24, 2014 1 Komentar

Soal dan Pembahasan Permasalahan Fokus Suatu Hiperbola

Soal dan Pembahasan Permasalahan Fokus Suatu Hiperbola

Permasalahan yang melibatkan fokus suatu hiperbola banyak kita jumpai di berbagai bidang. Seperti permasalahan fokus pada elips, hanya beberapa informasi hiperbola yang nantinya akan diketahui. Untuk itu, kita harus memanipulasi persamaan hiperbola yang diberikan atau bahkan membangun persamaan hiperbola dari suatu informasi tertentu untuk menentukan selesaian yang diberikan.

Soal 1: Menerapkan Karakteristik Hiperbola—Lintasan dari Suatu Komet

Komet-komet yang memiliki kecepatan yang sangat tinggi tidak dapat dipengaruhi oleh gravitasi matahari, dan akan mengitari matahari dengan lintasan berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai salah satu titik fokusnya. Jika lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x2 – 400y2 = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.

Pembahasan Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,

Sehingga, kita peroleh p = 20 (p2 = 400) dan q = 46 (q2 = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f2, kita mendapatkan,

Karena p = 20 dan |f| = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 107 kilometer.

Soal 2: Lokasi dari Suatu Badai

Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km (4.000 m). Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meteorologi kedua. Jika kecepatan suara 340 m/s, tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.

Pembahasan Misalkan M1 merupakan ahli meteorologi pertama dan M2 merupakan ahli meteorologi kedua. Karena M1 mendengar petir 9 detik setelah M2, maka lokasi M1, 9 ∙ 340 = 3.060 m lebih jauh dari M1 terhadap lokasi badai. Atau apabila disimbolkan, |M1S| – |M2S| = 3.060. Himpunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola, dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. Selanjutnya, mari kita gambar informasi-informasi di atas pada koordinat Cartesius sehingga M1 dan M2 terletak pada sumbu-x dan titik asal (0, 0) kita buat sebagai pusatnya.

Dengan selisih konstannya 3.060, kita mendapatkan 2p = 3.060 sehingga p = 1.530. Karena jarak antara M1 dan M2 adalah 4.000, maka jarak antara pusat dengan M1 atau M2adalah f = 1/2 ∙ 4.000 = 2.000. Dengan menggunakan persamaan fokus, kita mendapatkan

Sehingga, persamaan lokasi dari badai tersebut adalah

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 Komentar

Fokus dari Suatu Hiperbola

Fokus dari Suatu Hiperbola

Seperti pada elips, fokus dari suatu hiperbola banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Sistem navigasi radio jarak jauh (yang biasa disebut LORAN, kependekan dari long distance radio navigation system), dapat digunakan untuk menentukan letak dari suatu kapal laut dan pesawat terbang karena menerapkan karakteristik dari hiperbola. Cermin hiperbolis juga digunakan pada beberapa teleskop, karena cermin tersebut memiliki sifat bahwa setiap berkas cahaya yang datang dari satu fokus akan dipantulkan ke fokus lainnya. Untuk memahami beberapa contoh penerapan sifat hiperbola di atas, kita akan mendefinisikan hiperbola secara analitis.

Definisi Hiperbola
Diberikan dua titik f1 dan f2 pada suatu bidang, hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga selisih jarak antara f1 ke (x, y) dan f2ke (x, y) merupakan suatu konstanta positif. Apabila disimbolkan,

Dua titik f1 dan f2 disebut sebagai fokus-fokus hiperbola, dan titik-titik (x, y) berada pada grafik hiperbola.

Untuk lebih memahami definisi hiperbola di atas, perhatikan gambar hiperbola berikut.

Seperti halnya pada definisi analitis dari elips, dapat ditunjukkan bahwa nilai dari konstanta k adalah 2p (untuk hiperbola horizontal). Untuk menentukan persamaan hiperbola dalam bentuk p dan q, kita gunakan pendekatan yang serupa dengan elips, yaitu dengan menggunakan rumus jarak.

Dengan f adalah jarak fokus ke titik pusat hiperbola. Selanjutnya kita manipulasi persamaan di atas.

Dari definisi hiperbola, kita mendapatkan 0 < p < f, sehingga f2 > p2 dan f2 – p2 > 0. Agar persamaan di atas menjadi lebih sederhana, kita dapat memisalkan q2 = f2 – p2 kemudian kita substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan hiperbola di atas. Diperoleh,

Dari persamaan tersebut, dengan mudah kita dapat menentukan titik potong grafik persamaan hiperbola horizontal tersebut dengan sumbu-x adalah (±p, 0). Selain itu, kita juga dapat mengetahui bahwa grafik persamaan tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y.

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 1 Komentar

Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

Terdapat beberapa macam kurva dalam keluarga irisan kerucut, 3 di antaranya adalah lingkaran, elips, dan hiperbola. Pada contoh berikut, kita akan mengidentifikasi jenis kurva apa yang dibentuk oleh persamaan-persamaan yang diberikan, tanpa melukis grafik persamaannya. Seperti yang akan kita ketahui, jenis-jenis persamaan yang bersesuaian akan memiliki karakteristik tertentu yang dapat membantu kita untuk membedakan antara persamaan satu dengan persamaan lainnya.

Contoh: Mengidentifikasi Irisan Kerucut dari Persamaannya

Identifikasi masing-masing persamaan berikut apakah merupakan persamaan lingkaran, elips, ataukah hiperbola. Berikan alasanmu dan tentukan titik pusatnya, tetapi jangan menggambar grafik-grafiknya.

1. y2 = 36 + 9x2
2. 4x2 = 16 – 4y2
3. x2 = 225 – 25y2
4. 25x2 = 100 + 4y2
5. 3(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 12
6. 4(x + 5)2 = 36 + 9(y – 4)2

Pembahasan

1. Dengan menulis persamaannya menjadi y2 – 9x2 = 36, kita memperoleh a = 0 dan b = 0. Karena persamaan tersebut memuat selisih suku-suku berderajat dua, maka persamaan tersebut merupakan persamaan hiperbola (vertikal). Titik pusat dari hiperbola tersebut adalah (0, 0).
2. Kita tulis kembali persamaan tersebut menjadi 4x2 + 4y2 = 16, kemudian membagi kedua ruas dengan 4, maka kita akan memperoleh persamaan x2 + y2 = 4. Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran berjari-jari 2 dan memiliki titik pusat di (0, 0).
3. Persamaan x2 = 225 – 25y2 dapat ditulis menjadi x2 + 25y2 = 225. Persamaan tersebut terdiri dari penjumlahan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan elips yang memiliki titik pusat di (0, 0).
4. Dengan menulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 25x2 – 4y2 = 100, kita dapat melihat persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan dari hiperbola (horizontal) dengan titik pusat di (0, 0).
5. Persamaan yang diberikan memiliki bentuk pemfaktoran dan memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua dengan koefisien yang berbeda. Persamaan ini merupakan persamaan suatu elips dengan titik pusat di (2, –3).
6. Setelah kita tulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 4(x + 5)2 – 9(y – 4)2 = 36, kita dapat mengamati bahwa persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan suatu hiperbola horizontal dengan titik pusat di (–5, 4).

Dari 5 soal latihan di atas, kita sudah dapat membedakan antara persamaan-persamaan lingkaran, elips, dan hiperbola. Persamaan-persamaan lingkaran dan elips memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Akan tetapi, suku-suku berderajat dua pada persamaan lingkaran memiliki koefisien yang sama. Sebaliknya, suku-suku berderajat dua pada persamaan elips memiliki koefisien yang berbeda. Pada hiperbola, persamaannya memuat pengurangan suku-suku berderajat dua.

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 Komentar

Persamaan Hiperbola

Persamaan Hiperbola

Seperti kita ketahui, hiperbola merupakan salah satu keluarga irisan kerucut yang dibentuk akibat irisan bidang yang tegak lurus dengan selimut kerucut. Suatu hiperbola memiliki 2 bagian simetris yang disebut cabang, yang terbuka ke arah yang saling berlawanan. Walaupun cabang-cabang tersebut terlihat menyerupai parabola, nantinya kita akan menginvestigasi bahwa cabang-cabang tersebut dan parabola merupakan kurva yang sangat berbeda.

Perhatikan bahwa persamaan Ax2 + By2 = F merupakan persamaan suatu lingkaran apabila A = B dan juga merupakan persamaan suatu elips jika A ≠ B. Dua kasus tersebut memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Selanjutnya mungkin kita akan bertanya-tanya, bagaimana jika persamaannya berupa pengurangan suku-suku berderajat dua. Perhatikan persamaan 9x2 – 16y2 = 144. Dari persamaan tersebut kita dapat mengetahui bahwa titik pusatnya adalah titik asal (0, 0) karena tidak ada pergeseran pada variabel x dan y (a dan b keduanya adalah 0). Dengan menggunakan metode perpotongan kurva, kita dapat menggambar grafik tersebut dan menghasilkan suatu grafik hiperbola.

Contoh 1: Menggambar Grafik Hiperbola Pusat

Gambarlah grafik persamaan 9x2 – 16y2 = 144 dengan menggunakan perpotongan kurva dan beberapa titik tambahan jika diperlukan.

Pembahasan Dengan substitusi x = 0, kita akan menentukan perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-y.

Karena nilai y2 tidak pernah negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y. Selanjutnya, kita substitusi y = 0 untuk menentukan titik potongnya terhadap sumbu-x.

Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y, kita pilih nilai x yang lebih dari 4 dan kurang dari –4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. Dengan menggunakan x = 5 dan x = –5 menghasilkan,

Dengan memplot titik-titik yang telah kita temukan di atas kemudian menghubungkannya dengan kurva halus, dan karena kurva tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, maka grafik dari persamaan yang diberikan dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagaititik-titik puncak, dan titik pusat dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat. Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai sumbu transversal, sedangkan garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai sumbu konjugasi.

Pada contoh 1, koefisien dari x2 merupakan bilangan yang positif kemudian dikurangkan dengan 16y2: 9x2 – 16y2 = 144. Hasil yang diperoleh merupakan hiperbola horizontal. Jika suku-y2 positif kemudian dikurangkan dengan suku yang memuat x2, hasilnya merupakan suatu hiperbola vertikal. Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 Komentar

Soal dan Pembahasan Penerapan Elips

Soal dan Pembahasan Penerapan Elips

Penerapan elips dalam kehidupan sehari-hari dapat dijumpai di berbagai macam sektor. Pada banyak kasus, hanya beberapa informasi dalam elips yang diketahui sehingga kita harus menentukan informasi-informasi yang hilang untuk dapat menyelesaikan permasalahan elips yang diberikan. Pada kasus lainnya, kita harus menulis kembali persamaan elips yang diberikan untuk menentukan informasi yang berhubungan dengan p,q, dan f.

Contoh 1: Permasalahan Karakteristik Elips

Di Washington D.C., terdapat taman Ellipse yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.

Pembahasan Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p2 = 2292 = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q2 = 1952 = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.

Contoh 2: Prosedur Medis

Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Perhatikan gambar berikut.

Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?

Pembahasan Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q2 = 162 = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p2 = 102 = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,

Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari titik puncak lithotripter.

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 Komentar

Titik Fokus Suatu Elips

Titik Fokus Suatu Elips

Setelah kita mengetahui persamaan elips yang dapat diperoleh dengan memodifikasi persamaan lingkaran, pada pembahasan ini kita akan mendiskusikan definisi suatu elips yang diturunkan dari titik-titik fokusnya. Apa itu titik-titik fokus?

Definisi dari Suatu Elips
Diberikan dua titik tertentu, f1 dan f2, pada suatu bidang, elips adalah himpunan semua titik (x, y) yang jaraknya terhadap titik f1 ditambah jaraknya terhadap titik f2 selalu konstan.

Dua titik f1 dan f2 disebut sebagai fokus dari suatu elips, dan titik-titik P (x, y) adalah titik-titik pada grafik elips.

Berikut ini ilustrasi jumlah dari jarak titik-titik fokus dengan titik pada elips yang sama dengan konstanta.

Untuk menentukan persamaan elips dalam bentuk p dan q, kita dapat mengkombinasikan definisi elips yang baru saja diberikan dengan rumus jarak. Perhatikan elips di bawah ini (untuk memudahkan penghitungan, kita gunakan elips yang berpusat di titik (0, 0).

Perhatikan bahwa titik-titik puncaknya memiliki koordinat di (–p, 0) dan (p, 0) dan titik-titik ujung dari sumbu minornya di (0, –q) dan (0, q). Misalkan koordinat titik-titik fokusnya ada di (–f, 0) dan (f, 0), maka kita dapat menentukan jarak titik (f, 0) dan sembarang titik P (x, y) pada elips dengan menggunakan rumus jarak.

Dengan cara yang sama, jarak titik (–f, 0) dengan sembarang titik (x, y) adalah

Berdasarkan definisi, jumlah kedua jarak tersebut haruslah konstan:

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 Komentar

Persamaan Elips

Persamaan Elips

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari rmemiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)2 = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

• Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.
• Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Untuk lebih memahami mengenai persamaan elips dan grafiknya, perhatikan contoh pada halaman selanjutnya.

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 Komentar