Wahyu Eko Nugroho Pemalang: June 2012

Garis Singgung Persekutuan 2 Lingkaran

Garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Pada dua buah lingkaran, terdapat garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran tersebut, kita dapat menggunakan teorema pythagoras. Coba perhatikan berikut ini:

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari R dan r. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis q merupakan garis singgung persekutuannya. Geser garis q melalui perpanjangan PA sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis CQ dengan CQ//q. Perhatikan segitiga PQC siku-siku di C, dengan pythagoras maka:

$CQ^2 = p^2 - PC^2$

$CQ = \sqrt {p^2 - PC^2}$

$CQ = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}$

karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:

$q = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}$

Keterangan:

q = garis singgung persekutuan dalam

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Garis Singgung Persekutuan Luar

Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari r dan R. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luarnya. Geser garis l sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis PR dengan PR//l. Perhatikan segitiga PQR siku-siku di R, dengan pythagoras maka:

$PR^2 = p^2 - QR^2$

$PR = \sqrt {p^2 - (R - r)}^2$

$PR = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}$

Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah

$l = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}$

Keterangan:

l = garis singgung persekutuan luar

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

sumber : http://dumatika.com/garis-singgung-persekutuan-2-lingkaran/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Saturday, June 09, 2012 Komentar

Jenis Segitiga Dan Garis Istimewa Pada Segitiga

Seperti yang sudah kalian ketahui, segitiga merupakan bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah garis lurus yang saling berpotongan dan membentuk tiga buah sudut. Titik potong garis tersebut merupakan titik sudut segitiga. Segitiga sendiri ada beberapa macam, misal segitiga sama kaki, segitga siku-siku, dan sebagainya yang dibagi berdasarkan panjang sisi dan juga besar sudut pembentuknya.

Jenis-jenis segitiga berdasarkan panjang sisinya

Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibagi menjadi:

Segitiga sama sisi, yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Akibatnya, ketiga sudutnya pun sama besar, yaitu 60°.
Segitiga sama kaki, yaitu segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang. Segitiga ini mempunyai dua sudut yang sama besar, yaitu sudut yang berada di sisi yang sama panjang, atau sering disebut kaki segitga.
Segitiga sembarang, yaitu segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Akibatnya, ketiga sudut segitiga tersebut juga tidak ada yang sama.

Jenis-jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya

Berdasarkan jenis sudut pembentuk segitiga, maka segitiga dapat dibagi menjadi:

Segitiga siku-siku, yatiu segitiga yang besar salah satu sudutnya 90° atau siku-siku. Hipotenusa atau sisi miring adalah sisi di hadapan sudut siku-siku tersebut.
Segitiga tumpul, yaitu segitiga yang besar salah satu sudutnya lebih dari 90° atau sudut tumpul.
Segitiga lancip, yaitu segitiga yang ketiga sudutnya kurang dari 90° atau sudut lancip.

jenis segitga berdasarkan besar sudutnya

Dengan memperhatikan panjang sisi-sisi segitiga, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga termasuk segitiga siku-siku, tumpul, maupun segitiga lancip. Caranya adalah segitiga berikut, misal diketahui segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c dengan c adalah sisi terpanjang.

Jika c² = a² + b² maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
jika c² > a² + b² maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.
jika c² < a² + b² maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.

Garis istimewa dalam segitiga

Dalam segitiga, terdapat beberapa garis-garis istimewa, di antaranya sebagai berikut:

Garis berat, yaitu garis yang ditarik dari titik sudut ke pertengahan sisi di hadapannya. Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat. Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1.

Garis Berat Segitiga

Pada gambar di atas, garis berat ditandai dengan garis warna biru, yaitu AD, CF, dan BE. Garis berat tersebut berpotongan di titik P, yang merupakan titik berat. Titik berat merupakan titik pusat masa, bermanfaat dalam hal keseimbangan. Perbandingan garis berat adalah AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1

Garis bagi, yaitu garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dan membagi sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar. Ketiga garis bagi melalui satu titik yang disebut titik bagi. Titik bagi merupakan pusat lingkaran dalam segitiga.

Garis Bagi Segitiga

Pada gambar di atas, AD, EC dan BG adalah garis bagi, sedangkan titik F merupakan titik bagi, atau titik pusat lingkaran. Jika dari titik F ditarik garis tegak lurus ke sisi segitiga, maka akan terbentuk jari-jari lingkaran dalam segitiga, misal garis FN. Jika dari titik F dibuat lingkaran dengan jari-jari FN terlukislah lingkaran dalam segitiga.

Garis tinggi, yaitu garis yang ditarik dari titik sudut dan tegak lurus sisi di hadapannya. Ketiga garis tinggi melalui satu titik yang disebut titik tinggi. AH, BI, dan CJ merupakan garis tinggi.

Garis Tinggi Segitiga

Garis sumbu, merupakan garis yang tegak lurus pada pertengahan garis/sisi itu. Perhatikan gambar berikut, garis sumbu ditandai dengan garis yang berwarna biru. Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik, yaitu titik O dan merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga.

Garis Sumbu Segitiga

Kiranya sekian sedikit ringkasan mengenai jenis-jenis segitiga beserta garis-garis istimewa dalam segitiga, moga bisa bermanfaat. Teorema yang berhubungan dengan segitiga juga sangat banyak, misal ada dalil strewart, kesebangunan, teorema garis bagi, dan masih banyak yang lainnya. Silakan dieksplorasi.

sumber : http://dumatika.com/jenis-segitiga-dan-garis-istimewa-pada-segitiga/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Saturday, June 09, 2012 Komentar

Pembuktian Teorema Stewart

Ada banyak dalil/teorema pada segitiga yang sangat membantu kita untuk memudahkan perhitungan dalam mencari unsur segitiga yang dicari dalam soal. Salah satu teorema yang terkenal adalah dalil Stewart. Apa itu dalil stewart? Bagaimana pembuktian dalil Stewart? Untuk membuktikan dalil Stewart, perhatikan berikut ini.

$\begin{array}{lcl} \textbf{Diketahui} & : & \triangle ABC, \text{ garis } CD \text{ membagi } AB \text{ menjadi } AD \text{ dan } BD \\ \textbf{Buktikan} & : & CD^2 \times AB = (BC^2 \times AD) + (AC^2 \times BD) - (AD \times BD \times AB) \\ \textbf{Bukti} &:& \text{Tarik garis CE sedemikian sehingga } CE \perp AB \end{array}$

: Bukti dalil stewart

Proyeksi CD pada garis AB adalah ED
Perhatikan $\triangle ADC$ , berdasarkan proyeksi pada segitga lancip maka berlaku:
$\begin{array}{rcl} AC^2 &=& CD^2 + AD^2 - (2AD \times DE) \\ 2AD \times DE &=& CD^2 + AD^2 - AC^2 \\ DE &=& \frac {CD^2 + AD^2 - AC^2}{2AD} \cdots \cdots (1)\end{array}$ Perhatikan $\triangle DBC$ , berdasarkan proyeksi pada segitga tumpul maka berlaku:
$\begin{array}{rcl} CB^2 &=& CD^2 + BD^2 + (2BD \times DE) \\ -2BD \times DE &=& CD^2 + BD^2 - BC^2 \\ DE &=& \frac {-CD^2 - BD^2 + BC^2}{2BD} \cdots \cdots (2)\end{array}$ Dari (1) dan (2) didapat:
$\begin{array}{rcl} DE &=& DE \\ \frac {CD^2 + AD^2 - AC^2}{2AD} & = & \frac {-CD^2 - BD^2 + BC^2}{2BD} \\ 2BD(CD^2 + AD^2 - AC^2) &=& 2AD(-CD^2 - BD^2 + BC^2)\\ BD.CD^2 + BD.AD^2 - BD.AC^2 &=& - AD.CD^2 - AD.BD^2 + AD.BC^2 \\BD.CD^2 + AD.CD^2 &=& AD.BC^2 + BD.AC^2 - BD.AD^2 - AD.BD^2 \\ (BD + AD)CD^2 &=& AD.BC^2 + BD.AC^2 - BD.AD(AD+BD) \\ AB.CD^2 &=& AD.BC^2 + BD.AC^2 - BD.AD.AB\end{array}$ $\therefore CD^2 \times AB = (BC^2 \times AD) + (AC^2 \times BD) - (AD \times BD \times AB)$

sumber : http://dumatika.com/pembuktian-teorema-stewart/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Saturday, June 09, 2012 Komentar

Teorema Garis Bagi Segitiga

Garis Bagi Segitiga

Dalam sebuah segitiga, terdapat beberapa garis istimewa, misal garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan juga apotema. Sekedar mengingatkan, garis bagi merupakan garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dan membagi sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar. Garis bagi dalam segitiga ada dua macam, yaitu garis bagi dalam dan juga garis bagi luar. Garis bagi dalam contohnya garis AD pada gambar di samping. Untuk garis bagi luar maka sudut yang dibagi adalah sudut luar segitiga tersebut.

Dalam postingan kali ini akan dibahas sebuah teorema yang berhubungan dengan garis bagi dalam segitiga, untuk garis bagi luar mungkin akan dibahas pada postingan selanjutnya. Ada sebuah teorema dalam segitiga yang berbunyi kurang lebih sebagai berikut:

Garis bagi membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan

Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan gambar di samping. Akan dibuktikan bahwa $a_1 : a_2 = c : b$ . Buktinya adalah sebagai berikut:

Teorema Garis Bagi

Diketahui: $\bigtriangleup ABC$ , $AD$ garis bagi, $BD = a_1, CD = a_2$
Buktikan: $a_1 : a_2 = c : b$
Bukti: Tarik garis $DE \bot AB$ dan $DF \bot AC$
Perhatikan $\bigtriangleup ADE$ dan $\bigtriangleup ADF$
$AD = AD$ (berhimpit)
$\angle DAE = \angle DAC$ (AD garis bagi)
$\angle AED = \angle AFD$ ( $90^o$ )
maka $\bigtriangleup ADE \cong \bigtriangleup ADF$ (S Sd Sd)
Karena $\bigtriangleup ADE \cong \bigtriangleup ADF$ , maka $DE = DF$
Sekarang, perhatikan $\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACD:$
(i) $\frac {Luas \bigtriangleup ABD}{Luas \bigtriangleup ACD} = \frac {\frac{1}{2} \times AB \times DE}{\frac{1}{2} \times AC \times DF} = \frac {AB}{AC} = \frac {c}{b}$
(ii) Misal garis tinggi $\bigtriangleup ABC$ adalah $t_a$ , maka:
$\frac {Luas \bigtriangleup ABD}{Luas \bigtriangleup ACD} = \frac {\frac{1}{2} \times BD \times t_a}{\frac{1}{2} \times CD \times t_a} = \frac {BD}{CD} = \frac {a_1}{a_2}$
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa:

$a_1 : a_2 = c : b$

Untuk berlatih, silakan lihat contoh soal yang menggunakan teorema garis bagi segitiga.

sumber : http://dumatika.com/teorema-garis-bagi/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Saturday, June 09, 2012 Komentar

Soal Garis Bagi Segtiga

Melengkapi materi tentang teorema garis bagi dalam segitiga, dalam postingan kali ini akan dibahas salah satu soal yang berkaitan dengan teorema tersebut. Pembahasan di bawah ini merupakan salah satu alternatif penyelesaian, mungkin masih ada cara yang lainnya. Penulis memilih cara ini karena disesuaikan dengan materi tentang teorema garis istimewa pada segitiga. Soalnya dapat dilihat sebagai berikut:

Diketahui $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di B. Garis CD merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut C. Jika panjang AB = BC = 6 cm, tentukan panjang AD!

Jawab:

: CD Garis bagi segitga ABC

Langkah pertama adalah kita mencari panjang AC dengan menggunakan teorema phytagoras.

$\begin{array} {lcl} AC & = & \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = & \sqrt {6^2 + 6^2} \\ & = & \sqrt{36 + 36} \\ & = & \sqrt{72} \\ & = & 6\sqrt{2} \end{array}$

Untuk mencari panjang $AD$ kita dapat menggunakan teorema pada garis bagi yang sudah kita buktikan pada postingan sebelumnya. Kita misalkan panjang $AD = x$ , sehingga $BD = 6 - x$ . Berdasarkan gambar di samping, maka perbandingan sisi-sisinya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl} \frac {AD}{BD} & = & \frac {AC}{BC} \\ \frac {x}{6 - x} & = & \frac {6 \sqrt{2}}{6} \\ 6x & = & 6 \sqrt{2}(6 - x) \\ 6x & = & 36 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}x \\ 6x + 6 \sqrt{2}x & = & 36 \sqrt{2} \\ x(6 + 6 \sqrt{2}) & = & 36 \sqrt{2} \\ x & = & \frac{36 \sqrt{2}}{6 + 6 \sqrt{2}} \\ x & = & \frac{36 \sqrt{2}}{6 + 6 \sqrt{2}} \cdot \frac{6 - 6 \sqrt{2}}{6 - 6 \sqrt{2}} \\ x & = & \frac{6(36 \sqrt{2}) - (6\sqrt{2})(36\sqrt{2})}{6^2 - {(6 \sqrt{2})}^2} \\ x & = & \frac {216\sqrt{2} - 432}{36 - 72} \\ x & = & \frac{216 \sqrt{2} - 432}{-36} \\ x & = & 12 - 6 \sqrt{2} \end{array}$