Teorema Ptolemy

Teorema Ptolemy

Post ini membahas lagi mengenai bangun lingkaran, salah satu topik dalam geometri elementer, namun bukan lagi membahas segitiga. Teorema Ptolemy ini sangat umum, digunakan untuk mencari panjang segiempat tali busur atupun diagonal dari segiempat tali busur. Pasti dikenal di salah satu buku textbook matematika smp (namun jarang disebutkan kalau namanya Ptolemy). Dan, di textbook sangat jarang disertakan pembuktiannya. Di post ini, aku akan memberikan:
1. Bukti Teorema Ptolemy

2. Kesalahan dalam menafsirkan teorema Ptolemy (hampir 90% guru SMP salah menafsirkan teorema ini sehingga soal yang dibuat menjadi salah.

3. Bukti-bukti lain untuk mencari teorema ini, dan teorema yang lebih primer dari Ptolemy (dengan mencari panjang diagonal)

Beginilah bunyi teorema Ptolemy:

Diberikan sebuah segiempat tali busur (atau disebut quadrilateral) ABCD yang berurutan.

Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jumlah dari hasil kali sisi-sisi yang berseberangan sama dengan hasil kali diagonalnya, atau dapat ditulis sbb:

AB x CD + AD x BC = AC x BD

atau dapat ditulis begini:

ac+bd = mn

Simple sekali. Rumus ini mudah diingat. Namun, ada beberapa hal yang sebaiknya perlu kalian perhatikan. Teorema Ptolemy bisa menyesatkan jika penggunanya tidak tahu cara menggunakannya... Lihat lanjutan post di bawah.

BAGIAN I

BUKTI TEOREMA PTOLEMY I

Bagaimana membuktikan teorema Ptolemy?? Dari hasil pengamatanku di internet, bukti yang paling mudah dipahami adalah bukti mengenai kesebangunan.

Dari qudrilateral (gambar di atas), buatlah titik K yang terletak di diagonal DB sedemikian sehingga sudut yang dibentuk DAC sama dengan sudut BAK. Lebih jelasnya, lihat gambar di bawah.

Perhatikan bahwa  (alasannya:  dan ). Dengan demikian, kita dapatkan persamaan . Jika kali silang, persamaan tersebut menjadi:

AC x BK = AB x CD... (i)

Lalu, perhatikan bahwa  (alasannya:  dan ).
Dengan demikian kita dapatkan persamaan . Jika dikali silang, persamaan tersebut menjadi:

AC x DK = AD x BC...(ii)

Selanjutnya, tinggal menambahkan kedua persamaan di atas:

AC x BK +AC x DK = AB x CD + AD x BC

AC x (BK +DK) = AB x CD + AD x BC

AC x BD = AB x CD + AD x BC

Teorema Ptolemy pun TERBUKTI.

BAGIAN II
KESALAHAN-KESALAHAN DALAM QUADRILATERAL

Berikut akan diberikan beberapa contoh soal yang salah:

CONTOH SOAL SALAH I:
Diketahui segiempat talibusur ABCD dengan panjang AB = 1 cm, BC = 2 cm, CD = 3 cm, dan DA = 6 cm. Tentukan hasil kali diagonal-diagonalnya!

PENJELASAN:
Banyak orang matematika menjawab kalau hasil kali diagonalnya dapat dicari dengan teorema Ptolemy: AC x BD = AB x CD + AD x BC = 1 x 3 + 6 x 2 = 15 cm. Padahal soalnya salah.
Sampai kepala botak pun, kita tidak dapat membentuk segiempat dengan sisi masing-masing 1, 2, 3, dan 6 cm. Dengan demikian, teorema Ptolemy tidak berlaku.

CONTOH SOAL SALAH II:
Diketahui quadrilateral ABCD dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm. Panjang diagonal AC = 5 cm. Tentukan panjang diagonal BD!

PENJELASAN:
Banyak orang menjawab soal itu dengan langsung memasukkannya ke teorema Ptolemy, tanpa mengecek terlebih dahulu kebenarannya. Mereka menjawabnya sbb:
BD = (AB x CD + AD + BC) / AC = (2x4+5x3)/ 5 = 4,6 cm.

Padahal, BELUM TENTU panjang diagonal AC = 5 cm. Kenyataannya panjang AC dapat dicari dengan mengetahui keempat sisinya. Begitu pula dengan panjang BD. Dengan demikian, soal tersebut salah karena yang diketahui BERLEBIH. Seharusnya, panjang diagonal AC tidak perlu diberitahukan, kecuali jika si pembuat soal benar-benar yakin jika panjang diagonal AC tersebut adalah 5 cm, dan hal ini dapat dilihat melalui perhitungan yang lain (lihat lanjutan post ini, untuk membahas hal ini)..

BAGIAN III
BUKTI PRIMER TEOREMA PTOLEMY

Kita akan kembali membuktikan teorema Ptolemy, tapi dengan terlebih dahulu mencari panjang diagonal AC dan BD, kemudian keduanya dikalikan.

Perhatikan kembali gambar quadrilateral berikut:

Dengan melihat  dan menerapkan dalil Cosinus (seperti yang sudah dibahas di SINI), maka kita dapatkan persamaan:  ... (i)

Kemudian, dengan melihat  dan menerapkan dalil cosinus lagi, maka kita dapatkan persamaan:. Namun, kita tahu kalau  (sifat quadrilateral), maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang sbb:

 ... (ii)

Nah, kita ingin mengeliminasikan bagian sudut. Dengan demikian:
Kalikan pers (i) dengan , sehingga menjadi:

 ... (ib)

Kalikan pers (ii) dengan  sehingga menjadi:

 ... (iib)

Jumlahkan kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:

Nah, salah satu panjang diagonal m dapat diperoleh dari keempat sisi quadrilateral.

Dengan cara yang sama, kita dapatkan formula untuk menentukan panjang diagonal n.

Kemudian, dengan mengalikan keduanya, kita akan mendapatkan teorema ptolemy:

TERBUKTI

Berikut diberikan contoh soal yang sederhana...

CONTOH SOAL:
Diketahui quadrilateral ABCD dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm. Tentukan panjang diagonal AC dan BD!
JAWAB:
a = AB = 2cm.
b = BC = 3cm.
c = CD = 4cm.
d = DA = 5cm.

AC =  

            =

            =
            =4,411523372cm.

Panjang BD dapat ditentukan dengan 2 cara: Ptolemy atau langsung.
Cara Ptolemy:
BD = n = =  = 5,213618531cm.

Cara langsung:
BD ==  = 5,213618531cm.

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, March 30, 2014 Komentar

Pembuktian Teorema Binomial dengan Induksi Matematika

Pembuktian Teorema Binomial dengan Induksi Matematika

Sebelum kita membuktikan teorema binomial, kita akan membahas rumus yang akan digunakan untuk membuktikan teorema binomial tersebut, yaitu rumus Pascal. Rumus Pascal, yang dinamai oleh matematikawan dan ahli filsafat asal Prancis Blaise Pascal, merupakan satu dari beberapa rumus yang sangat terkenal dan berguna pada kajian masalah pencacahan. Rumus Pascal menghubungkan nilai kombinasi r dari n + 1 objek dengan kombinasi r – 1 dan r dari n objek. Secara lebih jelas, rumus Pascal menyatakan bahwa,

dengan n dan r adalah bilangan bulat positif dan r ≤ n. Rumus ini dapat digunakan untuk mempermudah penghitungan nilai kombinasi yang besar dengan menuliskannya ke dalam kombinasi yang lebih kecil: Jika nilai kombinasi r dari n objek diketahui, maka nilai kombinasi r dari n + 1 objek dapat dihitung untuk semua r sedemikian sehingga 0 < r ≤ n.

Segitiga Pascal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini, merupakan versi geometris dari rumus Pascal.

Setiap bilangan pada segitiga di atas sama dengan kombinasi r dari n objek. Rumus Pascal menyatakan bahwa bilangan pada baris r dan kolom n + 1 sama dengan bilangan pada baris n kolom r – 1 ditambah dengan bilangan pada baris n kolom r. Hal ini berarti, bilangan yang ada di dalam segitiga Pascal sama dengan penjumlahan dari dua bilangan yang terletak tepat di sebelah kiri-atas dan kanan-atasnya. Selanjutnya, bagaimana kita membuktikan rumus Pascal tersebut? Berikut ini pembuktian rumus Pascal dengan pendekatan kombinasi.

Bukti Misalkan n dan r adalah bilangan bulat positif dengan r ≤ n dan S adalah himpunan yang memiliki n + 1 anggota, atau S = (x1, x2, x3, … , xn + 1}. Sehingga, himpunan S sama dengan gabungan dari {x1, x2, x3, … , xn} dan {xn + 1}. Selanjutnya, semua himpunan bagian dari S yang bilangan kardinalnya sama dengan r dapat dibagi menjadi dua kelompok: kelompok pertama merupakan himpunan bagian yang memuat xn + 1, dan kelompok yang lain merupakan himpunan bagian yang tidak memuat xn + 1.

Apabila suatu himpunan bagian dari S memuat xn – 1, maka himpunan bagian tersebut akan memuat r – 1 anggota dari {x1, x2, x3, … , xn}. Jika himpunan bagian dari S tidak memuat xn– 1, maka himpunan bagian tersebut akan memuat r anggota dari {x1, x2, x3, … , xn}.

Karena banyaknya himpunan bagian S yang berukuran r sama dengan kombinasi r dari n+ 1, maka

Pembuktian Teorema Binomial dengan Induksi Matematika

Misalkan a dan b adalah sembarang bilangan real, dan P(n) adalah pernyataan

Tunjukkan bahwa P(0) benar: Untuk n = 0, teorema binomial menyatakan bahwa:

Tetapi ruas kirinya adalah (a + b)0 = 1, dan ruas kanannya adalah

Sehingga P(0) benar.

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat m ≥ 0, jika P(m) benar, makaP(m + 1) benar: Misalkan diberikan m bilangan bulat dengan m ≥ 0 dan P(m) benar. Sehingga,

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa P(m + 1) benar:

Sekarang, berdasarkan definisi pangkat (m + 1),

Sehingga dengan substitusi dari hipotesis induktif,

Selanjutnya, kita transformasikan penjumlahan kedua pada ruas kanan di atas dengan mengubah variabel j = k + 1. Ketika k = 0, maka j = 1. Ketika k = m, maka j = m + 1. Karena k = j – 1, maka

Sehingga, penjumlahan kedua pada ruas kanan tersebut akan sama dengan,

Karena dalam penjumlahan tersebut j adalah variabel semu, maka kita dapat mengubah jmenjadi k asalkan pengubahan tersebut untuk semua j yang muncul dalam penjumlahan tersebut.

Sehingga,

Berdasarkan rumus Pascal,

Sehingga,

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, March 30, 2014 Komentar