Friday, May 10, 2013

Limit Fungsi

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1. Substitusi langsung
Contoh:

2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:

4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:

Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:

Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

→ Untuk bentuk

Contoh:

5. Limit trigonometri:

Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin²½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin² ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos²ax = sin²ax (dari sin²x + cos²x = 1)

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.

Ilustrasi:

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Friday, May 10, 2013 Komentar

Monday, March 18, 2013

Penyelesaian Persamaan sin x° = sin α° (x ϵ R)

Penyelesaian persamaan trigonometri sin x° = sin α° (x ϵ R) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut.

sin (180°-α°) = sin α°
sin (α°+k·360°) = sin α°

maka :
sin x° = sin α° (x ϵ R)
x = α°+k·360° atau x= (180°-α°) + k·360°, dengan k ϵ B
Atau
sin x° = sin A (x ϵ R), maka
x = A + 2kπ atau x = (π-A) + 2kπ, dengan k ϵ B

Penyelesaian Persamaan cos x° = cos α° (x ϵ R)

Penyelesaian persamaan trigonometri cos x° = cos α° dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada kosinus sudut-sudut berelasi sebagai berikut.

cos (-α°) = cos α°
cos (α°+k·360°) = cos α°

maka :
cos x° = cos α° (x ϵ R)
x = α°+k·360° atau x= -α° + k·360°, dengan k ϵ B
Atau
cos x° = cos A (x ϵ R), maka
x = A + 2kπ atau x = -A + 2kπ, dengan k ϵ B

Penyelesaian Persamaan tan x° = tan α° (x ϵ R)

Penyelesaian persamaan trigonometri tan x° = tan α° (x ϵ R)dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada tangen sudut-sudut berelasi berikut.

tan (180° + α°) = tan α°
tan (α° + k·360°) = tan α°

maka :
tan x° = tan α° (x ϵ R) maka x = α° + k·180° (k ϵ R)
Atau
tan x° = tan A (x ϵ R), maka x = A + 2kπ (k ϵ B)

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Monday, March 18, 2013 Komentar

Wednesday, March 13, 2013

Menentukan Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Diberikan sebuah segitiga dengan sisi a, b, dan c.

Dengan demikian, jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut dapat ditentukan sbb:

dimana

Bukti dari rumus ini justru sangat mudah.. Lihat lanjutannya.

Bukti
Kembali gambarkan segitiga ABC seperti berikut:

Kita tahu bahwa luas total segitiga dapat dicari dengan penjumlahan dari luas segitiga ABO, BCO, dan ACO.. Maka, dengan menjumlahkannya dan memisahkan bagian R (jari-jari), maka rumus tersebut akan terbukti. Untuk lebih jelasnya, akan dijabarkan di sini.

Kita tahu bahwa

, maka:

Kita dapatkan rumus untuk mencari inradius sbb:

Kita masih bisa membentuk rumus di atas dengan bentuk yang lain.
Sesuai dengan formula Heron, maka rumus tersebut dapat dibentuk sbb:

TERBUKTI

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Wednesday, March 13, 2013 Komentar

Menentukan Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Di post ini, kita akan berusaha menemukan rumus menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga jika diketahui panjang sisi a, b, dan c. (Lihat gambar). Pembuktian ini sudah ada di beberapa buku SMP, namun beberapa buku SMP yang lain justru hanya menyertakan rumus (tanpa pembuktian).. Sangat disayangkan..

Jari-jari circumcircle (Lingkaran luar) dari suatu segitiga dapat ditentukan dari rumus berikut.

Lihat lanjutan post berikut untuk mengetahui pembuktiannya.

Bukti
Dari gambar segitiga dan lingkaran luar di atas, tariklah garis yang menghubungkan salah satu titik sudut ke titik pusat O. Dalam bukti ini, kita ambil titik C. Perpotongan garis itu dengan lingkaran misalkan titik D. Kemudian, hubungkan titik D dengan titik yang lain. dalam hal ini, kita ambil titik B. Kita tarik pula garis tinggi (t) dari titik C terhadap AB.

Maka, hasilnya ditunjukkan gambar berikut.

Akan tetapi, karena garis CD adalah diameter, maka

.
Kemudian, karena menghadap busur yang sama, maka

. Maka, lihatlah kembali gambar yang sudah diperbarui di bawah:

Artinya,

. Dengan perbandingan biasa, kita dapatkan:

Nah, cobalah ingat rumus luas segitiga (yang alasnya itu sisi c):

. Dengan demikian,

. Substitusikan nilai t ini, maka:

TERBUKTI

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Wednesday, March 13, 2013 Komentar

Induksi Matematika

Contoh

$1+2+3+\ldots+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Untuk $n=1$ maka $1=\frac{1\left(1+1\right)}{2}$
Untuk $n=2$ maka $1+2=\frac{2\left(2+1\right)}{2}=3$
Untuk $n=3$ maka $1+2+3=\frac{3\left(3+1\right)}{2}=6$
Untuk $n=4$ maka $1+2+3+4=\frac{4\left(4+1\right)}{2}=10$

Pertanyaannya adalah

Bagaimana membuktikan bahwa rumus diatas berlaku untuk semua $n\in\mathbb{N}$ ?

Tentu saja kita tidak mungkin mengecek satu-persatu bilangan asli. Untuk membuktikannnya kita harus menggunakan induksi matematika

Induksi Matematika

Merupakan metode pembuktian untuk membuktikan pernyataan berbentuk

$P\left(n\right)$ : Untuk suatu bilangan asli $n$ berlaku $P$

bahwa $P\left(n\right)$ berlaku untuk semua $n\in\mathbb{N}$ .

Langkah-langkah pada Induksi Matematika

Ada 2 langkah pada Induksi matematika untuk memebuktikan pernyataan $P\left(n\right)$ berlaku untuk semua $n\in\mathbb{N}$ .

Langkah pertama disebut Langkah dasar. Buktikan untuk $n=1$ berlaku $P\left(1\right)$
Langkah kedua disebut Langkah Induksi. Asumsi berlaku untuk $n=k$ berlaku $P\left(k\right)$ , buktikan untuk $n=k+1$ berlaku $P\left(k+1\right)$ .

Contoh

1. Kita buktikan rumus diatas $1+2+3+\ldots+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Langkah dasar: Untuk $n=1$ berlaku

$1=\frac{1\left(1+1\right)}{2}$

Terbukti untuk $n=1$ , selanjutnya

Langkah Induksi: Asumsi untuk $n=k$ berlaku $1+2+3+\ldots+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}$ .

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$ berlaku

$1+2+3+\ldots+k+\left(k+1\right)=\frac{k+1\left(\left(k+1\right)+1\right)}{2}$

Inilah yang akan kita buktikan. Berdasarkan asumsi $n=k$ maka sisi kiri dapat ditulis

$\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\left(k+1\right)$

Jabarkan:

$\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\left(k+1\right)=\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}$

$=\frac{k^{2}+3k+2}{2}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(\left(k+1\right)+1\right)}{2}$

Terbukti untuk $n=k+1$ , langkah induksi telah lengkap maka bisa kita simpulkan

$1+2+3+\ldots+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

berlaku untuk semua $n\in\mathbb{N}$

2. Buktikan $5^n-1$ habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli $n$

Langkah dasar: Untuk $n=1$ , jelas $5^1-1$ habis dibagi 4

Langkah Induksi: Asumsi untuk $n=k$ berlaku $5^k-1$ habis dibagi 4. Akan dibuktikan $5^{k+1}-1$ habis dibagi 4

$5^{k+1}-1=5.5^k-1$

$=(1+4).5^k-1$

$=5^k+4.5^k-1$

$=(5^k-1)+4.5^k$

berdasarkan asumsi $5^k-1$ habis dibagi 4, begitupula $4.5k$ habis dibagi 4, itu berarti $5^{k+1}-1$ habis dibagi 4.

Langkah induksi telah lengkap maka bisa kita simpulkan $5^n-1$ habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli $n$

3. Buktikan $n!>3^n$ untuk semua $n\geq7$

Untuk contoh ke-3 saya akan menunjukan langkah dasar tidak harus selalu dimulai dari $n=1$ tapi tergantung kondisi. Pada contoh ini langkah dasar dimulai dari $n=7$ , kenapa? Karena persamaan diatas tidak berlaku untuk $n<7$