Terdapat beberapa macam kurva dalam keluarga irisan kerucut, 3 di antaranya adalah lingkaran, elips, dan hiperbola. Pada contoh berikut, kita akan mengidentifikasi jenis kurva apa yang dibentuk oleh persamaan-persamaan yang diberikan, tanpa melukis grafik persamaannya. Seperti yang akan kita ketahui, jenis-jenis persamaan yang bersesuaian akan memiliki karakteristik tertentu yang dapat membantu kita untuk membedakan antara persamaan satu dengan persamaan lainnya.
Contoh: Mengidentifikasi Irisan Kerucut dari Persamaannya
Identifikasi masing-masing persamaan berikut apakah merupakan persamaan lingkaran, elips, ataukah hiperbola. Berikan alasanmu dan tentukan titik pusatnya, tetapi jangan menggambar grafik-grafiknya.
- y2 = 36 + 9x2
- 4x2 = 16 – 4y2
- x2 = 225 – 25y2
- 25x2 = 100 + 4y2
- 3(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 12
- 4(x + 5)2 = 36 + 9(y – 4)2
Pembahasan
- Dengan menulis persamaannya menjadi y2 – 9x2 = 36, kita memperoleh a = 0 dan b = 0. Karena persamaan tersebut memuat selisih suku-suku berderajat dua, maka persamaan tersebut merupakan persamaan hiperbola (vertikal). Titik pusat dari hiperbola tersebut adalah (0, 0).
- Kita tulis kembali persamaan tersebut menjadi 4x2 + 4y2 = 16, kemudian membagi kedua ruas dengan 4, maka kita akan memperoleh persamaan x2 + y2 = 4. Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran berjari-jari 2 dan memiliki titik pusat di (0, 0).
- Persamaan x2 = 225 – 25y2 dapat ditulis menjadi x2 + 25y2 = 225. Persamaan tersebut terdiri dari penjumlahan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan elips yang memiliki titik pusat di (0, 0).
- Dengan menulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 25x2 – 4y2 = 100, kita dapat melihat persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan dari hiperbola (horizontal) dengan titik pusat di (0, 0).
- Persamaan yang diberikan memiliki bentuk pemfaktoran dan memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua dengan koefisien yang berbeda. Persamaan ini merupakan persamaan suatu elips dengan titik pusat di (2, –3).
- Setelah kita tulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 4(x + 5)2 – 9(y – 4)2 = 36, kita dapat mengamati bahwa persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan suatu hiperbola horizontal dengan titik pusat di (–5, 4).
Dari 5 soal latihan di atas, kita sudah dapat membedakan antara persamaan-persamaan lingkaran, elips, dan hiperbola. Persamaan-persamaan lingkaran dan elips memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Akan tetapi, suku-suku berderajat dua pada persamaan lingkaran memiliki koefisien yang sama. Sebaliknya, suku-suku berderajat dua pada persamaan elips memiliki koefisien yang berbeda. Pada hiperbola, persamaannya memuat pengurangan suku-suku berderajat dua.
Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola
4/
5
Oleh
Wahyu Eko Nugroho
