Misalkan Andi akan berangkat sekolah bersama dengan teman sekelasnya, Amir. Rumah Andi terletak pada titik P dan rumah Amir terletak pada titik Q (lihat gambar). Sehingga, dalam perjalanan ke sekolah Andi akan menuju rumah Amir terlebih dahulu, kemudian bersama-sama dengan Amir ia akan berangkat ke sekolah. Ada berapa cara yang dapat ditempuh Andi untuk berangkat ke sekolah apabila ia harus melalui rumah Amir terlebih dahulu?
Banyaknya cara perjalanan dari titik P ke titik Q dilanjutkan ke titik R dapat digambarkan dengan diagram pohon seperti pada gambar berikut.
Dari diagram pohon tersebut terlihat rute perjalanan dari titik P ke titik R melalui titi Qada 6 cara yang dapat ditulis dalam bentuk himpunan pasangan berurutan {(a, x), (a, y), (a, z), (b, x), (b, y), (b, z)}.
Dari uraian di atas, didapatkan bahwa jika ada 2 cara yang berbeda dari P ke Q dan ada 3 cara yang berbeda dari Q ke R maka akan diperoleh (2 × 3) cara yang berbeda dari P ke R. Kaidah ini merupakan aturan perkalian.
Selanjutnya perhatikan gambar berikut ini.
Rute perjalanan dari P ke R dapat ditempuh melalui Q atau S. Dari P ke R melalui Q ada (2 × 3) cara yaitu 6 cara, sedangkan dari P ke R melalui S ada (1 × 2) cara, sehingga rute perjalanan dari P ke R ada (6 + 2) cara yang berbeda. Kaidah ini merupakan aturan penjumlahan.
Dari kedua contoh di atas dapat kita simpulkan tentang kaidah perkalian dan aturan penjumlahan sebagai berikut.
Jika suatu peristiwa terjadi dengan m cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan n cara yang berbeda maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan:
- (m × n) cara yang berbeda (prinsip perkalian);
- (m + n) cara yang berbeda (prinsip penjumlahan).
Untuk lebih memahami mengenai aturan perkalian dan aturan penjumlahan, perhatikan contoh soal berikut!
Contoh Soal
Untuk membentuk pengurus suatu organisasi, tersedia 2 orang calon ketua, 3 orang calon sekretaris, dan 2 orang calon bendahara dan tidak ada seorang pun yang dicalonkan pada dua atau lebih kedudukan yang berbeda. Dalam berapa cara susunan pengurus yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dapat dibentuk?
Pembahasan Contoh Soal
Untuk ketua ada 2 cara memilih, karena ada 2 calon. Demikian juga untuk sekretaris ada 3 cara dan untuk bendahara ada 2 cara, karena ada 2 calon. Oleh karena itu, menurut prinsip perkalian, susunan pengurus dapat dibentuk dengan (2 × 3 × 2) cara, yaitu 12 cara. Untuk mendapatkan gambaran yang jelas dari penyelesaian di atas, banyaknya susunan pengurus dapat ditunjukkan dengan diagram pohon sebagai berikut.
Jika dalam penyelesaian soal kita selalu membuat diagram pohon atau menuliskan dengan pasangan berurutan maka kita akan memerlukan waktu dan tempat yang banyak. Untuk itu kita harus memahami tentang prinsip perkalian sehingga dalam penyelesaian soal akan lebih cepat dan ringkas.
Aturan Perkalian dan Penjumlahan
4/
5
Oleh
Wahyu Eko Nugroho
