Fokus dari Suatu Hiperbola

Seperti pada elips, fokus dari suatu hiperbola banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Sistem navigasi radio jarak jauh (yang biasa disebut LORAN, kependekan dari long distance radio navigation system), dapat digunakan untuk menentukan letak dari suatu kapal laut dan pesawat terbang karena menerapkan karakteristik dari hiperbola. Cermin hiperbolis juga digunakan pada beberapa teleskop, karena cermin tersebut memiliki sifat bahwa setiap berkas cahaya yang datang dari satu fokus akan dipantulkan ke fokus lainnya. Untuk memahami beberapa contoh penerapan sifat hiperbola di atas, kita akan mendefinisikan hiperbola secara analitis.

Definisi Hiperbola
Diberikan dua titik f1 dan f2 pada suatu bidang, hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga selisih jarak antara f1 ke (x, y) dan f2ke (x, y) merupakan suatu konstanta positif. Apabila disimbolkan,

Dua titik f1 dan f2 disebut sebagai fokus-fokus hiperbola, dan titik-titik (x, y) berada pada grafik hiperbola.

Untuk lebih memahami definisi hiperbola di atas, perhatikan gambar hiperbola berikut.

Seperti halnya pada definisi analitis dari elips, dapat ditunjukkan bahwa nilai dari konstanta k adalah 2p (untuk hiperbola horizontal). Untuk menentukan persamaan hiperbola dalam bentuk p dan q, kita gunakan pendekatan yang serupa dengan elips, yaitu dengan menggunakan rumus jarak.

Dengan f adalah jarak fokus ke titik pusat hiperbola. Selanjutnya kita manipulasi persamaan di atas.

Dari definisi hiperbola, kita mendapatkan 0 < p < f, sehingga f2 > p2 dan f2 – p2 > 0. Agar persamaan di atas menjadi lebih sederhana, kita dapat memisalkan q2 = f2 – p2 kemudian kita substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan hiperbola di atas. Diperoleh,

Dari persamaan tersebut, dengan mudah kita dapat menentukan titik potong grafik persamaan hiperbola horizontal tersebut dengan sumbu-x adalah (±p, 0). Selain itu, kita juga dapat mengetahui bahwa grafik persamaan tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y.

Tweet

Fokus dari Suatu Hiperbola

4/ 5

Oleh Wahyu Eko Nugroho

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Sunday, May 11, 2014 1 Komentar