Rumus jarak, jarak titik dengan titik dan jarak titik dengan garis, dapat digunakan untuk menentukan persamaan dari kurva-kurva irisan kerucut. Tetapi sebelum menentukan persamaan-persamaan tersebut, kita akan membahas beberapa keluarga kurva yang dihasikan oleh irisan kerucut. Topi ulang tahun merupakan salah satu contoh kerucut yang dapat dijumpai di sekitar kita. Titik pada kerucut disebut titik puncak dan lembaran kertas yang membentuk sisi kerucut disebut selimut kerucut. Sesuai dengan namanya kurva-kurva dalam keluarga irisan kerucut, dapat dihasilkan dengan mengiris suatu kerucut, atau lebih tepatnya, kurva-kurva tersebut merupakan hasil perpotongan suatu bidang dengan kerucut. Apabila bidang tersebut tidak melalui titik puncak, irisannya akan menghasilkan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Perhatikan gambar berikut.
Masing-masing irisan kerucut tersebut dapat didefinisikan dalam persamaan jarak titik dengan titik, ataupun jarak titik dengan garis. Misalnya, titik-titik (–4, –2), (4, –2), dan (4, 4) merupakan titik-titik yang berada pada lingkaran yang berpusat di (0, 1) dan berjari-jari 5 satuan. Sehingga, definisi lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama (yang disebut jari-jari) terhadap suatu titik tertentu (yang disebut titik pusat).
Contoh lainnya, titik-titik (0, 0), (4, 2) dan (8, 8) yang dilalui oleh suatu parabola memiliki jarak yang sama terhadap titik (0, 2) dan garis y = –2. Ilustrasi ini mengarahkan kita ke dalam definisi parabola: parabola adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu (yang disebut titik fokus) dan suatu garis yang diberikan (yang disebut garis direktris).
Contoh : Menemukan Persamaan Parabola
Tentukan persamaan parabola yang memuat semua titik yang berjarak sama terhadap titik (0, 2) dan garis y = –2.
Pembahasan Kita gunakan pasangan berurutan (x, y) untuk merepresentasikan sembarang titik pada parabola. Karena semua titik pada garis y = –2 dapat dituliskan ke dalam (x, –2), maka kita dapat menyatakan bahwa jarak titik (x, y) terhadap (x, –2) sama dengan jarak (x, y) terhadap (0, 2). Dengan menggunakan rumus jarak,
Sehingga, semua titik yang memenuhi kondisi tersebut adalah semua titik pada parabola dengan persamaan (1/8)x2.
Lalu bagaimana jika jarak titik (x, y) terhadap fokus kurang dari jarak (x, y) terhadap direktris? Bagaimana jika jarak (x, y) terhadap fokus sama dengan 5/6 dari jarak (x, y) terhadap direktris. Mungkin kita akan menebak bahwa titik-titik (x, y) tersebut akan membentuk kurva dalam keluarga irisan kerucut lainnya. Dalam hal ini, titik tersebut akan membentuk elips. Jika jarak (x, y) terhadap fokus lebih dari jarak (x, y) terhadap direktris, maka titik-titik tersebut akan membentuk hiperbola. Pada gambar a di bawah, panjang ruas garis dari fokus ke masing-masing titik pada grafik (ditunjukkan oleh ruas garis orange), sama dengan 5/6 dari panjang ruas garis dari direktris dengan titik-titik yang sama. Perhatikan bahwa titik-titik yang memenuhi kondisi seperti itu akan membentuk setengah elips. Pada gambar b, garis-garis dan titik-titik yang membentuk setengah elips digerakkan dengan kondisi yang sama sehingga membentuk suatu grafik elips secara utuh.
Irisan Kerucut
4/
5
Oleh
Wahyu Eko Nugroho
