Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A, B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA, AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata sebagai berikut: A1BA2, A2BA1, A1A2B, A2A1B, BA1A2, dan BA2A1.
Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A1A2 yang seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.
Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut.
- Banyaknya permutasi dari n objek dengan x objek sama (x ≤ n) adalah
- Banyaknya permutasi yang terdiri dari n objek yang dipilih dari n objek di mana ada beberapa objek sama, misalnya ada m1 objek yang sama, ada m2 objek yang sama, sertam3 objek yang sama, dan seterusnya adalah
Untuk lebih memahami mengenai permutasi dengan beberapa objek yang sama, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Berapa banyak cara dapat dibentuk dari huruf-huruf:
- AKSARA,
- CACAH, dan
- MATEMATIKA, dengan syarat huruf pertama dan terakhirnya secara berturut-turut M dan K.
Pembahasan Contoh Soal
- Perhatikan bahwa pada huruf-huruf AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu jenis huruf yang sama, yaitu A, yang berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120 cara.
- Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5 huruf dengan dua jenis huruf yang sama, yaitu C dan A, yang masing-masing berjumlah 2. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 5!/(2! × 2!) = 30 cara.
- Perhatikan gambar berikut.
Setelah huruf-huruf M dan K digunakan di awal dan akhir susunan kata, maka huruf yang tersisa adalah ATEMATIA. Sisa huruf ini terdiri dari 8 huruf dengan 2 jenis huruf yang sama, yaitu A dan T, yang banyaknya secara berturut-turut adalah 3 dan 2. Sehingga banyaknya permutasi yang mungkin adalah 8!/(3! × 2!) = 3.360 cara.
Permutasi dengan Beberapa Objek Sama
4/
5
Oleh
Wahyu Eko Nugroho
