Mungkin di antara kita ada yang menjadi siswa, mahasiswa, ataupun pegawai. Masing-masing dari siswa, mahasiswa, ataupun pegawai tentunya memiliki kartu tanda pengenal: kartu tanda pelajar, kartu tanda mahasiswa, ataupun kartu tanda pegawai. Atau secara lebih umum, kita yang berusia di atas 17 tahun tentunya memiliki kartu tanda penduduk dengan nomor induk penduduk yang berbeda antara orang satu dengan yang lainnya. Relasi “memiliki NIK” antara orang dengan nomor induk penduduknya merupakan relasi khusus yang disebut fungsi.
Pada uraian ini akan dibahas mengenai fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi yang lain. Fungsi yang seperti ini disebut fungsi invers. Untuk lebih memahami mengenai fungsi invers, kita bahas syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi.
Syarat Agar Invers Suatu Fungsi Merupakan Fungsi
Perhatikan fungsi g(x) berikut ini dengan g : A → B (Gambar i).
Apabila fungsi g dibalik, maka diperoleh relasi R1. Relasi R1 disebut invers (kebalikan) fungsi g. Apakah relasi R1 merupakan fungsi? Selanjutnya perhatikan fungsi f dengan f : A→ B pada gambar (ii). Apabila fungsi f dibalik, maka diperoleh relasi R2. Relasi R2merupakan invers fungsi f. Apakah relasi R2 merupakan fungsi.
Pada relasi R1, ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A. Sehingga relasi R1 bukan merupakan fungsi. Sedangkan pada relasi R2, semua anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A, sehingga relasi R2 merupakan fungsi. Fungsi R2 ini selanjutnya disebut sebagai fungsi invers dari f, atau dituliskan f -1. Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa f -1 ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau f adalah bijektif.
Apabila kita lihat contoh kasus di awal, fungsi “memiliki NIK” merupakan fungsi korespondensi satu-satu, sehingga inversnya merupakan fungsi invers. Invers dari fungsi “memiliki NIK” adalah fungsi “merupakan NIK yang dimiliki oleh”. Domain dari fungsi invers ini adalah daftar NIK, sedangkan kodomainnya adalah daftar orang-orang yang berusia di atas 17 tahun.
Jadi, harap dibedakan antara invers fungsi dan fungsi invers. Setiap fungsi memiliki invers, tetapi hanya fungsi yang berkorespondensi satu-satu yang mempunyai fungsi invers. Untuk lebih memahami mengenai fungsi invers, perhatikan contoh soal berikut!
Contoh Soal
Perhatikan gambar dari diagram panah fungsi f, dengan f : P → Q, berikut.
- Apakah f -1 ada? Mengapa?
- Gambarlah diagram panah dari f -1!
- Carilah (f -1 ○ f)(x), (f -1 ○ f)(y), dan (f -1 ○ f)(z)!
- Apakah f -1 ○ f = I? Mengapa?
- Carilah (f ○ f -1)(a), (f ○ f -1)(b), dan (f ○ f -1)(c)!
- Apakah f ○ f -1 = I? Mengapa?
Pembahasan Contoh Soal
- f -1 ada, sebab f berada dalam korespondensi satu-satu.
- Diagram panah dari f -1 ditunjukkan sebagai berikut.
- (f -1 ○ f)(x) = f -1(f(x)) = f -1(c) = x
(f -1 ○ f)(y) = f -1(f(y)) = f -1(a) = y(f -1 ○ f)(z) = f -1(f(z)) = f -1(b) = z - Benar bahwa f -1 ○ f = I, sebab (f -1 ○ f)(t) untuk setiap t.
- (f ○ f -1)(a) = f(f -1(a)) = f(y) = a
(f ○ f -1)(b) = f(f -1(b)) = f(z) = b(f ○ f -1)(c) = f(f -1(c)) = f(x) = c - Benar bahwa f ○ f -1 = I, sebab (f ○ f -1)(t) = t untuk setiap t.
Dari contoh soal di atas diperoleh bahwa komposisi antara suatu fungsi dengan fungsi inversnya, atau sebaliknya, merupakan fungsi identitas.
Fungsi Invers
4/
5
Oleh
Wahyu Eko Nugroho
