Sunday, May 11, 2014

Aturan L’Hôpital

Aturan L’Hôpital menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu, limit dari pembagianf(x)/g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan limit pembagian dari turunan-turunannya, yaitu
Pembagian Turunan
Untuk membuktikan teorema ini, digunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, seperti berikut.
TEOREMA NILAI RATA-RATA YANG DIPERLUASJika f dan g memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) dan kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga g’(x) ≠ 0 untuk setiap x di dalam (a, b), maka ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga,
Teorema Nilai Rata-rata
Bukti Kita dapat menganggap bahwa g(a) ≠ g(b), karena jika tidak, menurut Teorema Rolle, akan mengakibatkan g’(x) = 0 untuk suatu x di (ab). Sekarang, didefinisikan h(x) sebagai berikut.
H(x)
Maka
H(a)
dan
H(b)
dan dengan menggunakan Teorema Rolle, ada titik c di (ab) sedemikian sehingga
H'(c)
yang menyebabkan bahwa,
Terbukti
Setelah membuktikan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, sekarang perhatikan Teorema L’Hôpital berikut.
ATURAN L’HÔPITALMisalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) yang memuat c, kecual pada c itu sendiri. Anggap g(x) ≠ 0 untuk setiap x di (a, b), kecuali pada c itu sendiri. Jika limit dari f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk tidak tentu 0/0, maka
Aturan L'Hopital
apabila limit di ruas kanan ada (atau tak hingga). Hasil ini juga dapat diterapkan jika limit f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu ∞/∞, (–∞)/∞, ∞/(–∞), dan (–∞)/(–∞).
Seperti yang telah disinggung sebelumnya, Aturan L’Hôpital tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas. Karena banyak kasus dalam aturan ini, maka pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan untuk satu kasus saja. Untuk kasus yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Bukti Perhatikan satu kasus untuk,
Satu Kasus
Selanjutnya definisikan fungsi baru sebagai berikut.
F(x) dan G(x)
Untuk setiap xc < x < bF dan G memiliki turunan pada (cb] dan kontinu pada [cb]. Sehingga, Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas dapat diterapkan untuk menyimpulkan bahwa ada bilangan z di (cx) sedemikian sehingga
Pembagian Turunan F dan G
Akhirnya, dengan memisalkan x mendekati c dari kanan, x → c+, didapatkan z → c+karena c < z < x, dan
Terbukti 2
Catatan Kesalahan kadang-kadang dilakukan dengan menggunakan Aturan Turunan pada Pembagian f(x)/g(x) dalam menerapkan Aturan L’Hôpital ini. Pastikan bahwa aturan ini memuat f ’(x)/g’(x), bukan turunan dari f(x)/g(x). Selanjutnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1: Bentuk Tak Tentu 0/0
Tentukan nilai limit dari (e2x – 1)/x untuk x mendekati 0.
Pembahasan Karena dengan menggunakan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0,
Bentuk Tak Tentu
sehingga dapat diterapkan Aturan L’Hôpital, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
Contoh Soal 1
Contoh 2: Penerapan Aturan L’Hôpital Lebih dari Satu Kali
Tentukan limit x2/ex untuk x mendekati negatif tak hingga.
Pembahasan Karena dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞, maka gunakan Aturan L’Hôpital.
Contoh Soal 2 I
Limit ini masih menghasilkan bentuk tak tentu (–∞)/(–∞), sehingga Aturan L’Hôpital dapat diterapkan kembali.
Contoh Soal 2 II
Aturan L’Hôpital
4/ 5
Oleh

Berlangganan via email

Suka dengan postingan di atas? Silakan berlangganan postingan terbaru langsung via email.