Wahyu Eko Nugroho Pemalang: May 2012

Soal Logaritma

Pada postingan sebelumnya tentang sifat-sifat dasar logaritma beberapa komentator menanyakan penerapan dan juga contoh pembahasan dari sifat-sifat logaritma. Secara kebetulan juga ada sahabat yang menanyakan sebuah soal tentang logaritma, jadi sekalian saja saya tulis di sini. Pada soal dan pembahasan kali ini akan menjawab soal mengenai logaritma, soalnya adalah kurang lebih sebagai berikut.

Hasil dari $\frac{^3\log \sqrt{6}}{(^3\log18)^2-(^3\log2)^2}$ adalah…

Untuk menjawab soal tersebut, masih ingatkah dengan sifat-sifat dasar logaritma? Kalau sudah lupa, silakan diingat kembali sifat-sifat dasar logaritma yang sudah ada.

$\frac{^3\log \sqrt{6}}{(^3\log18)^2-(^3\log2)^2}$ (ingat: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ )

$= \frac{^3\log 6^{\frac{1}{2}}}{(^3\log 9 \times 2)^2-(^3\log2)^2}$

(ingat: $^p \log a^n = n \times ^p \log a$ dan $^p \log (a \times b) = ^p \log a + ^p \log b$ )

$= \frac{\frac{1}{2} \times ^3\log 6}{(^3\log 9 +^3\log 2)^2-(^3\log2)^2}$

$= \frac{\frac{1}{2}( ^3\log 3\times 2)}{(^3\log 3^2 +^3\log 2)^2-(^3\log2)^2}$

$= \frac{\frac{1}{2}( ^3\log 3 + ^3\log 2)}{(2 \times ^3\log 3 +^3\log 2)^2-(^3\log2)^2}$ (ingat: $^a \log a = 1$ )

$= \frac{\frac{1}{2}( 1 + ^3\log 2)}{(2 \times 1 +^3\log 2)^2-(^3\log2)^2}$

$= \frac{\frac{1}{2}( 1 + ^3\log 2)}{(2 +^3\log 2)^2-(^3\log2)^2}$ (ingat: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ )

$= \frac{\frac{1}{2}( 1 + ^3\log 2)}{2^2 + 4 \times ^3\log 2 + (^3 \log 2)^2-(^3\log2)^2}$

$= \frac{\frac{1}{2}( 1 + ^3\log 2)}{4 + 4 ^3\log 2}$

$= \frac{\frac{1}{2}( 1 + ^3\log 2)}{4(1 + ^3\log 2}$

$= \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$= \frac{1}{8}$

Jadi, $\frac{^3\log \sqrt{6}}{(^3\log18)^2-(^3\log2)^2} = \frac{1}{8}$

Sumber : http://dumatika.com/soal-logaritma/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Monday, May 07, 2012 Komentar

Soal Persamaan Kuadrat

Untuk melengkapi materi persamaan kuadrat, saya tuliskan contoh soal persamaan kuadrat.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat berikut:
$\frac {4 - x}{\sqrt {x^2 - 8x + 32}} = \frac {3}{5}$
Jawab:
$\frac {4 - x}{\sqrt {x^2 - 8x + 32}} = \frac {3}{5}$
$\Leftrightarrow 5(4 - x) = 3(\sqrt {x^2 - 8x + 32})$
$\Leftrightarrow 25(16 - 8x + x^2) = 9(x^2 - 8x + 32)$
$\Leftrightarrow 25x^2 - 200x +400 = 9x^2 - 72x + 288$
$\Leftrightarrow 16x^2 - 128x + 112 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - 8x + 7 = 0$
$(x - 7)(x - 1) = 0$
$x = 7$ atau $x = 1$
Kita cek masing-masing penyelesaiannya, masukkan ke persamaan awal.
Untuk $x = 7$
$\frac {4 - 7}{\sqrt {7^2 - 8(7) + 32}} = -\frac {3}{5}$
Untuk $x =1$
$\frac {4 - 1}{\sqrt {1^2 - 8(1) + 32}} = \frac {3}{5}$
Ternyata yang memenuhi persamaan tersebut hanya $x = 1$ , sedangkan $x = 7$ tidak memenuhi.

sumber : http://dumatika.com/soal-persamaan-kuadrat/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Monday, May 07, 2012 Komentar

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan yang mempunyai bentuk umum:

$ax^2 + bx + c = 0$ , dengan $a \neq 0, a, b, c \in R$

$a$ merupakan koefisien dari $x^2$ , $b$ merupakan koefisien dari $x$ , sedangkan $c$ merupakan konstanta.

Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari suatu nilai $x$ sedemikian sehingga jika nilai $x$ tesebut disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut akan bernilai benar. Penyelesaian persamaan kuadrat itu juga disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

1. Dengan Memfaktorkan

Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ (Untuk $a = 1$ )
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, maka:
$x^2 + bx + c = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + (m + n)x + m \times n = 0$ , dengan $m \times n = c$ dan $m + n = b$
$\Leftrightarrow (x + m)(x + n) = 0$
$(x + m) = 0$ atau $(x + n)=0$
Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ (Untuk $a \neq 1$ )
$ax^2 + bx + c = 0$
$\Leftrightarrow ax^2 + px + qx + c = 0$ dengan $p \times q = a \times c, p + q = b$
contoh:
$3x^2 + 14x + 15 = 0$
$\Leftrightarrow 3x^2 + 5x + 9x + 15 = 0$
$\Leftrightarrow x(3x + 5) + 3(3x + 5) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0$
$x + 3 = 0$ atau $3x + 5 = 0$
$x = -3$ $x = -\frac{5}{3}$
Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ (Untuk $a \neq 1$ )
$ax^2 + bx + c = 0$
$\Leftrightarrow \frac {1}{a}(ax + m)(ax + n) = 0$ , dengan $m \times n = a \times c, m + n = b$
contoh:
$3x^2 + 14x + 15 = 0$
$\Leftrightarrow \frac {1}{3} (3x + 9)(3x + 5) = 0$
$\Leftrightarrow \frac {1}{3} \times 3(x + 3)(3x + 5) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0$
$x + 3 = 0$ atau $3x + 5 = 0$
$x = 3$ $x = -\frac{5}{3}$

2. Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna, maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

- Usahakan agar koefisien dari $x^2$ sama dengan 1, atau $a = 1$
- Pindahkan konstanta $c$ ke ruas kanan
- Tambahkan kedua ruas dengan $(\frac {1}{2} \cdot b)^2$
- Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 - 4x - 5 = 0$ dengan cara melengkapkan kuadrat.
$2x^2 - x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x - \frac {1}{2} = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x = \frac {1}{2}$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2}x + [\frac {1}{2} \cdot (-\frac {1}{2})]^2 = \frac {1}{2} + [\frac {1}{2} \cdot (-\frac {1}{2})]^2$
$\Leftrightarrow x^2 - \frac {1}{2} + \frac {1}{16} = \frac {1}{2} + \frac {1}{16}$
$\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4})^2 = \frac {9}{16}$
$\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4}) = \pm \sqrt {\frac {9}{16}}$
$\Leftrightarrow (x - \frac {1}{4}) = \pm\frac {3}{4}$
$\Leftrightarrow x_{1,2} = \frac {1}{4} \pm \frac {3}{4}$
$x_1 = \frac {1}{4} + \frac {3}{4}$ atau $x_2 = \frac {1}{4} - \frac {3}{4}$
$x_1 = 1$ $x_2 = -\frac{1}{2}$

3. Dengan Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratis maka dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

$ax^2 + bx + c = 0$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Untuk melihat pembuktian cara mencari rumus kuadratis tersebut, silakan baca postingan cara mencari rumus abc persamaan kuadrat.

sumber : http://dumatika.com/persamaan-kuadrat/

Ditulis Wahyu Eko Nugroho Pada Monday, May 07, 2012 Komentar